GABARITO: ALTERNATIVA D

A soma da PG é 10.922. O cálculo da soma dos 7 primeiros termos dessa PG exige alguns conhecimentos prévios.

A soma de uma PG é definido por Sn = a1 * (q^n -1) / q - 1

Temos que encontrar o a1 (primeiro termo da PG) e o q (razão da PG). Como trata-se de uma PG crescente, sabemos tem razão maior que 1 (q>1).

A PG tem a seguinte forma (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7). De acordo com enunciado, conhecemos a2 e a4, assim a PG do exercício é (a1, 8, a3, 128, a5, a6, a7). Para calcularmos o a1 e o q, temos que nos valer da propriedade número 1 de uma PG.

Propriedade nr 1 da PG: quando temos uma PG com quantidade ímpar de termos (que é nosso caso, temos 7 termos), haverá o Termo Central, onde tem uma característica. O termo central elevado ao quadrado será o valor da multiplicação dos termos equidistantes.

Aplicando a PG do exercício é (a1, 8, a3, 128, a5, a6, a7). Temos:

Termo central da PG = a4 = 128, é exatamente o termo do meio da PG.
Dado a propriedade número 1, temos Termo Central elevado ao quadrado igual valor da multiplicação dos termos, assim a4^2 = 128^2 = 16.384
Assim, as multiplicações dos termos equidistantes será sempre 16.384. Exemplificando: a1*a7 = 16.384, a2*a6 = 16.384, a3*a5 = 16.384, a4*a4 = 16.384

Além disso, sabemos que um termo posterior é sempre o termo anterior multiplicado pela razão: a2 = a1*q, a3 = a2*q, a4 = a3*q, a5 = a4*q, e assim sucessivamente.

Vamos primeiro calcular o a6, a partir da propriedade da PG, onde a multiplicação dos termos equidistantes = 16.384 :

a2 * a6 = 16.384, se a2=8, então a6=16.384/8, a6=2.048.

A PG do exercício agora é (a1, 8, a3, 128, a5, 2.048, a7). Agora vamos calcular o termo a5, sabemos que:

a5 = a4*q e a6 = a5*q, substituindo os valores, temos que: a5=128*q e a5 = 2.048/q
Como a5 = a5, podemos igualar as equações para encontrar o q (razão): 128*q = 2.048/q, 128*q^2 = 2.048. q^2 = 2.048/128 , q^2 = 16, q = 16^(1/2), q = 4.

Com q = 4, podemos calcular a1

a2 = a1*q, substituindo os valores, temos: 8 = a1*4, a1= 8/4, a1=2

Voltamos a fórmula da soma da PG:

Sn = a1 * (q^n -1) / q - 1, Sn = 2 *(4^7 -1) / 4-1, Sn = 2 *(16.384-1)/3 = (2*16383)/3 = 32.766/3 = 10.922

Caso não se lembre da fórmula da soma da PG, é só encontrar os termos restantes, através da multiplicação do termo anterior pela razão e por fim somar todos os termos. A PG do exercício ficará (2, 8, 32, 128, 512, 2.048, 8.192). A Sn = 2+8+32+128+512+2.048+8.192. Sn = 10.922